浮点数
2.4.1 二进制小数
十进制小数: 12.34 = 1*10^1 + 2*10^0 + 3*10^(-1) + 4*10^(-2)
二进制小数：101.11 =1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^(-1) + 1*2^(-2) = 4+0+1+0.5+0.25 = 5.75(十进制)
二进制小数：1011.1 = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 + 1*2^(-1) = 8+0+2+1+0.5 = 11.5（十进制）
很容易看出，二进制小数点左移一位相当于这个数被2除，小数点向右移一位相当于将该数乘2.
假定我们仅考虑有限长度的编码，那么十进制表示法不能准确地表达三分之一和七分之五这样的数， 同理，小数的二进制表示法只能表示哪些能够被写成x*2^y的数。其他的值只能够被近似的表示。 增加二进制表示的长度可以提高表示的精确度：
| 二进制表示 | 值 | 十进制 |
|---|---|---|
| 0.0 | 0/2 | 0.0 |
| 0.01 | 1/4 | 0.25 |
| 0.0011 | 3/16 | 0.1875 |
| 0.001101 | 13/64 | 0.203125 |
2.4.2 IEEE浮点数表示
前一节谈到的定点表示法不能有效地表示非常大的数，如 52^100是用101后面跟100个0组成的位模式来表示。 相反，我们希望通过给定x和y的值来表示形如x2^y的数。
IEEE浮点标准用 V = (-1)^s * M * 2^E 的形式来表示一个数：
- s(sign):符号，决定这个数是正数（s = 0）还是负数(s = 1)
- 尾数（significand）：M 是一个二进制小数，它的范围是[1,2)或者[0,1)
- 阶码(exponent)：E的作用是对浮点数的加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数） 将浮点数的位表示划分位三个字段，分别对这些值进行编码：
- 一个单独的符号位s直接编码符号2。
- k位的阶码字段exp=e(k-1)…e1 e0 编码阶码E
- n位小数字段 frac = f(n-1)…f1 f0 编码尾数M，但是编码出来的值也依赖于阶码字段的是否等于0
下图给出了将三个字段装进一个字中两种最常见的格式，在单精度浮点格式(c语言中的float),s、exp和 frac字段分别装进1位、k=8位和n=32位，得到一个32位的表示。 在双精度浮点格式（C语言中的double）中，s、exp和frac字段分别是1位、k=11位和n=52位，得到一个 64位的表示。
单精度:
31-30-----------23-22-------------------------------0
s| exp | frac
-----------------------------------------------------
双精度:
63-62----------------52-51--------------------------32
s| exp | frac(51:32)
-----------------------------------------------------
31----------------52-51-----------------------------0
frac（31:0）
-----------------------------------------------------
给定了位表示，根据exp的值，被编码的值可以分成三种不同的情况（最后一种有两个变种）：
1.规格化的：
s| 0< ? <255 | f |
2.非格化的：
s| 0000 0000 | f |
3a.无穷大：
s| 1111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 |
3b.NaN:
s| 1111 1111 | ?>0 |
单精度浮点数值的分类(阶码的值决定了这个数是规格化的、非规格化、或特殊值)
-
情况1：规格化的值，这是最普遍的情况，当exp不全为0也不全为1时，阶码字段被解释为 以偏置形式表示的有符号整数。也就是说阶码的值是E = e - Bias,其中e是无符号数， 其位表示位e(k-1)…e1 e0, 而Bias是一个等于2^(k-1) -1（单精度是127，双精度是1023）的偏置值。 由此产生指数的取值范围，对于单精度是-126 ~ 127,而对于双精度是-1022 ~ 1023。 （1-127 = -126,254 -127=127）. 对于小数字段frac的解释位描述小数值f，其中f的范围是[0,1),其二进制表示0.f(n-1)…f1 f0,也就是二进制 小数点在最高有效位左边。尾数定义为 M = 1 + f。有时这种方式也叫作隐含的以1开头的表示，因为我们可以把M 看做一个二进制表达式1.f(n-1)f（n-2)….f0的数字。既然我们总是能够调整阶码E，使得尾数M在范围[1,2)之中（假设没有溢出）， 那么这种表示方法是一种轻松获得一个额外精度的技巧。由于第一位总是1，因此我们就不需要显示地表示它。（注意：不能表示数值0）
-
情况2：非规格化的值， 当阶码域全是0时，所表示的数就是非规格化形式。这种情况下，阶码值是E = 1 - Bias（单精度： -126）， 而尾数的值M = f,也就是小数字段的值，不包含隐含的开头 的1. 非规格化数有两个用途，首先，它们提供了一种表示数值0的方法，因为使用规格化数，我们必须总是使M>=1,因此不能表示0. 实际上+0.0的浮点表示的位模式全为0，当符号位为1，其他位是0，得到-0.0。根据IEEE的浮点格式，认为+0.0和-0.0在某些方面是不同的， 而在其他方面是相同的。 非规格化数的另一个功能是表示哪些非常接近0.0的数。
-
情况3：特殊值，当阶码全为1时，小数域全为0时，得到的数表示无穷，s=0,表示正无穷，s=1表示负无穷。 当，小数域为非0时，结果值被成为“NaN“,表示“不是一个数”(Not a Number)。 一些运算的结果不能是是实数或者无穷，就会返回NaN, 如计算:√(-1)或者 无穷减无穷。在某些应用中，表示未初始化的数据时，它们也很有用处。
2.4.3 数字示例
2.4.4 舍入
因为表示方法限制了浮点数的范围和精度，浮点运算只能近视地表示实数运算。因此，对于值x，我们一般想用一种系统的方法，能够 找到“最接近”的匹配值x’，它可以用期望的浮点形式表示出来，这就是舍入运算的任务。
四种舍入方式： 方式|1.40|1.60|1.50|2.50|-1.50 —|—|—|—|—|— 向偶数舍入（向最近的值舍入）|1|2|2|2|-2 向零舍入|1|1|1|2|-1 向下舍入|1|1|1|2|-2 向上舍入|2|2|2|3|-1
2.4.5 浮点运算
浮点加法不具有结合性。
2.4.6 C语言中的浮点数
float, double.
较新的C语言版本包括ISO C99，包含第三种浮点类型long double.对于许多机器和编译器来说，这种类型等价于double类型。 不过对于inte兼容机来说，GCC用80位 “拓展精度”格式来实现这种类型，提供了比标准64位 格式大得多的取值范围和精度。
当int, float, double格式之间进行强制类型转换时，程序改变数值和位模式的原则如下(假设int是32位):
- int->float: 数字不会溢出，但是可能被舍入。
- int,float->double: 因为double有更大的范围，也有哦更高的精度，所以能够保留精确的数值。
- double->float: 因为范围要小一些，所以值可能是正无穷或负无穷，另外，由于精度较小，它还可能被舍入。
- float,double->int: 值将会向零舍入。